Soutenance de Thése Adrien COTIL

Cette thèse traite de la modélisation mathématique du déplacement d'animaux grégaires, tels que les ovins ou les bovins à l'échelle du troupeau. Le comportement de ces animaux présente une composante sociale importante, ce qui engendre une asymétrie dans les interactions qu'ils entretiennent. L'objectif est d'étudier des modèles qui rendent compte de cette asymétrie afin d'étudier son impact sur la manière dont les animaux se déplacent en groupe.
La première partie de cette thèse se concentre sur le comportement asymptotique en temps de variantes du modèle de Cucker-Smale. Ce modèle est couramment utilisé pour décrire le phénomène d'alignement. Nous considérons des variantes pour lesquelles la force d'interaction entre deux individus i et j est pondérée par un coefficient Aij. Principalement, nous cherchons à déterminer des conditions sur les paramètres et les conditions initiales qui assurent que la solution converge vers un profil où tous les individus se déplacent en translation rectiligne et uniforme à la même vitesse. Nous obtenons des conditions nécessaires et/ou suffisantes pour cette convergence sous diverses hypothèses sur la structure de la matrice A, incluant le cas où elle évolue dans le temps selon un processus de saut markovien et celui où les coefficients Aij sont à valeurs matricelles. Pour dériver ces conditions, nous développons une approche originale basée sur un interprétation probabiliste des solutions ainsi que sur l'utilisation d'inégalité de type Dobrushin.
La deuxième partie se penche sur la question de l'inférence statistique de la matrice A. Nous montrons que pour une version très générale de ce modèle qui rend compte d'un large éventail de profils d'interactions, ce problème se réduit à un problème de moindres carrés sous contrainte. Dans l'optique de réduire le nombre de paramètres, nous étudions ce problème dans le cas où chaque individu possède un label caché et où la force d'interaction entre deux individus ne dépend que de leurs labels respectifs. La question statistique posée par cette variante est l'estimation de ces labels, transformant le problème de l'estimation de la matrice A en un problème de clustering sur des séries temporelles corrélées. Pour répondre à cette question, nous développons un algorithme s'inspirant de l'algorithme Lloyd, basé sur une réécriture de sa vraisemblance comme un problème de type k-means. Nous l'adaptons au problème de l'inférence des labels cachés dans un modèle à blocs stochastiques pour lequel nous montrons sa consistance et son efficience numérique sur données simulées.